凄まじい反響だった「宝くじの高額当選確率 バラは連番の2.5倍」(2)私の解説以前、ネットには確率は同じと書かれていた2018年11月19日 20:57

 前回、「バラの方が高額当選確率2.5倍というのを初めて指摘したのは8年前の私だ」と書きました。しつこいようですが、その私の2010年11月より前に指摘したものがあるという情報をお持ちの方、ぜひ、お知らせください。
 それを書くより数カ月前のある日、ある質問サイトを見ていたら、「連番とバラで高額当選確率はどちらが高いか」という質問があった。で、その回答の中に「どちらでも確率は同じです」という間違った答えを書いている人がたくさんいた。
 また、確率が違うと書いてる人もどれぐらい違うのかは書いてない。つまり、まともな回答は一つもなかった。
 それが、8年前にこのことを書こうと思った動機だ。
書く時の常套手段だが、そのことに詳しい専門家を見つけ、その人に話を聞いて書く。ところが、いろいろな本やネットなどでいくら探しても連番とバラの高額当選確率について書いたり、言ったりしている専門家がいない。
 そこで、方針変更。まず、自分で答えを出し、その答えが正しいかどうか専門家に検証してもらうという方法を取ることに。
 さて、いきなり年末ジャンボ宝くじで計算するのはあまり賢くない。年末ジャンボは、当時で、100組×10万通り=1000万種類の番号がある。いまは200組に倍増したので、なんと2000万種類。
 こういう時、科学する心は、最小のモデルをつくって答えを出し、後で数をデカくして確かめるというのが割と定番だ。
 そこで、私が1枚100円で、0-99の100枚の宝くじという例を考えた。総額1万円。1等は5000円、前賞、後賞は1500円ずつ。
 さて、連番かバラで10枚買ってみよう。
連番は50~59の10枚。バラは9の倍数(9、18、27、・・・、90)で10枚とした。
 1等の抽選をする。
 連番の場合。もし、1等が51から58までになれば、連番君が1等前後賞総取りで8000円の賞金。その確率は8/100=0.08。1等が50か59なら1等と前か後どちらかの2賞独り占めで、6500円の賞金。確率は2/100=0.02。1等が49か60なら前、後どちらかで、1500円の賞金。確率は同じく0.02。どれかしらに当たる確率は、これら三つの和で、0.12になる。
 バラの場合。1等が9の倍数なら1等あたり。5000円の賞金。確率は10/100=0.1。1等が9の倍数より1多い時(10、19、28など)、前賞あたりで1500円の賞金。確率は同じく0.1。1等が9の倍数より1少ない時も同様で、2000円の賞金、確率0.1。
 バラの場合、絶対、1等と前後賞は重ね取りできないので、どれかしら当たる確率はこれら三つの和で0.3。
 連番の0.12のちょうど2.5倍の確率だ。
9の倍数でなくても、5の倍数でも7の倍数でも変わらない。11、13、15、17、19・・・みたいな複数の賞が重なる可能性のある買い方でない限り、バラがどれかにあたる確率は0.3だ。
 連番は賞を独占して大もうけできる可能性があるが、どれかにひっかかる確率は低い。バラは総取りや二重取りは絶対できないがどれかに当たる確率は連番よりいい。
 幼い日の科学する心が予想した通り、損得のバランスが取れているのだ。
 これを確率の用語では期待値が同じと言う。期待値とは買った額に対して、確率的にいくら戻ってくると期待できるかという値だ。このミニくじでは1枚100円で期待値は80円、10枚1000円なら800円。すべて買い占めた時、1万円の購入額に対して、もらえる賞金総額は8000円で、この比率0.8を還元率や払い戻し率という。期待値は買った額に還元率をかけた額になり、どんな買い方をしても同じなのだ。

さて、(3)では、いよいよこれを実際の年末ジャンボにあてはめてみる。

凄まじい反響だった「宝くじの高額当選確率 バラは連番の2.5倍」(1)2.5倍説の最初の発見者は私2018年11月19日 19:50

 まもなく年末ジャンボ宝くじが発売される(11/21)。ので、このブログの最初のテーマは、今から8年前に私が書いた「宝くじの高額当選の確率はバラで買った方が連番より2.5倍高い」という話を取り上げようと思う。
 宝くじに詳しくない人のために説明すると、10枚買う場合、バラは番号がバラバラ、連番は190000番から190009番までのように番号が続いている買い方だ。
 なぜ2.5倍になるのか、内容は小学生にもわかるような理屈だが、それまでこの2.5倍を指摘した人がいなかったせいか、経験したことがないような反響を呼んだ。具体的な数値は言えないんだけど。中には、半年もかけて私の書いた内容を検証した個人サイトもあった。そのサイトも大変なアクセスを稼いだらしい(小学生でもわかることになのになぜ検証に半年もかかるのか不思議なんですが)。このサイトは大変興味深いので後に詳しく取り上げようと思う。
 私が書いて以降は、この知識が急速に広まり、いろいろなサイトにも書かれるようになったようだが、困った面もある。
 2.5倍という数字だけ一人歩きしてしまったのだ。これはこのブログで何度も取り上げることになるだろう「倍率のトリック」の典型例。
 2.5倍って結構大きい印象がある。だが、実際は、「100万分の1」の確率がたかだか「40万分の1」になるぐらいのこと。数学的には意味のある違いでも、日常生活で考えればどっちもほぼゼロみたいなもんだ。
 そこで、ここで改めてなぜ2.5倍になるのかを取り上げ、さらにはなぜ、この小学生でもわかるような理屈を指摘する人がそれまでいなかったのか、という謎にも迫りたい。私は8年前に書くに当たっていろいろなサイトや文献を探したが、2.5倍という数字を書いているものが見つからなかった。もしも、2010年の11月より前にこれ(バラの方が2.5倍)を書いていた本なり、サイトなりを知っている人がいたら、ぜひ教えてほしい。

 まずはきっかけから。たぶん、小学校低学年のころ。身近な大人が「宝くじを買おう」と盛り上がった。そのとき、「バラよりも連番で買った方が1等と前後賞総取りできるから得だ」と言っていたのだ。
 これはおかしい。子供心に思った。買い方によって結果の損得があるはずがない。だが、当時の私はまだ確率について知識がほとんどなく、どうおかしいのか、具体的に説明や証明ができなかった。
 なぜそれがあり得ないのか、明確な論理を組み立てることはできないが、そんなことがあったら数学的、科学的におかしい。そう思う心が「科学する心」である。
 そして、科学する心は予見する。狭い範囲だけを覗いていると一方が得しているように見えるが、その分、どこか別な場所で損していて、広い範囲を眺めると結局全体でバランスが取れているはずだ、と。

(2)に続く